Điểm H(a,b,c) là hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;4) trên đường thẳng

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \). Khi đó: \(H = \Delta \cap \left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 11 = 0\).

Vì \(H \in \Delta \) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + t\\b = 3 + t\\c = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Vì \(H \in \left( P \right)\) nên ta có: \(\left( {2 + t} \right) + \left( {3 + t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) - 11 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow H\left( {2;3;3} \right)\).

Vậy ta có \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 3\) nên \(a + b - \frac{c}{3} = 4\).

Đáp án cần nhập là: 4.