Cho tam giác A B C vuông tại A . Tia phân giác góc A B C cắt A C tại D . Vẽ D E vuông góc với B C tại E . (a) Chứng minh Δ A B D = Δ E B D và Δ B A E là tam giác cân. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) ta có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \);

\(BD\) là cạnh chung;

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[AB = EB\] (hai cạnh tương ứng)

\(\Delta BAE\) có \[AB = EB\] nên là tam giác cân tại \[B\].

b) Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (chứng minh trên) suy ra \[AD = ED\] (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ADF\) vuông tại \[A\] có \[DF\] là cạnh huyền suy ra \[DF > AD\] hay \[DF > DE\].

c) Xét \(\Delta CKF\) có: \[FD = DK\] nên \(CD\) là đường trung tuyến của tam giác.

Mà \[CI = 2DI\] hay \(CI = \frac{2}{3}CD\) nên \(I\) là trọng tâm của \(\Delta CKF\).

Suy ra \[KI\] đi qua trung điểm của \[CF\] \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta BCF\) có \(CA,FE\) là hai đường cao của tam giác và \(CA,FE\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của tam giác.

Suy ra \(BD \bot CF\) hay \(BH \bot CF\)

Xét \(\Delta BHF\) và \(\Delta BHC\) có:

\(\widehat {BHF} = \widehat {BHC} = 90^\circ \);

\(BH\) là cạnh chung;

\(\widehat {HBF} = \widehat {HBC}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\))

Do đó \(\Delta BHF = \Delta BHC\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra \(HF = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(H\) là trung điểm của \(CF\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[KI\] đi qua điểm \(H\), hay ba điểm \(H,I,K\) thẳng hàng.

Điểm cách đều ba cạnh của một tam giác là giao điểm của ba đường nào trong tam giác đó?