Để xây dựng một trạm quan sát cảnh quan trên đỉnh núi, các nhà đầu tư cần biết chính xác chiều cao của ngọn núi này. Theo mô hình này, chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến hàng đơn vị) gần nh

Hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có dạng \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\], \[\left( {a \ne 0} \right)\]

Ta có: \[ON = OM + MN = 2 + 3,5 = 5,5\left( {km} \right)\]

Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm: \[O\left( {0;0} \right)\],\[M\left( {2;0} \right)\] và \[N\left( {5,5;0} \right)\]

Khi đó, phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có ba nghiệm phân biệt là \[x = 0;x = 2;x = 5,5\].

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = kx\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5,5} \right)\]\[ = k\left( {{x^3} - 7,5{x^2} + 11x} \right)\] với đồ thị hàm số \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  - \infty \] nên \[k < 0\]

Ta có: \[f'\left( x \right) = k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right)\]

Xét \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {93} }}{6}\].

Độ sâu của hồ nước là \[450m = 0,45km\] nên ta có giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số trên là\[{y_{CT}} =  - 0,45\].

Suy ra, \[f\left( {\frac{{15 - \sqrt {93} }}{6}} \right) =  - 0,45 \Leftrightarrow k \cdot \frac{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}{{36}} =  - 0,45 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 16,2}}{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}\].

Chiều cao của ngọn núi tương ứng với .

Vậy ngọn núi cao khoảng \[1191\,m\]. Chọn A.