Để treo một chiếc đèn trang trí Đ trong phòng khách, người chủ nhà có ý tưởng thiết kế một hệ thống dây thép mạ vàng để treo. Hệ thống gồm: 4 đoạn dây bằng nhau treo ở các điểm \(A,B,C,D\) tr

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\) trên trần nhà. Ta có \(OM = 60{\rm{\;cm}}\) là khoảng cách từ đèn \(M\) đến trần nhà.

Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật \(ABCD\): \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{80}^2}} = 100{\rm{\;(cm)}}\).

Vì \(O\) là tâm hình chữ nhật nên khoảng cách từ \(O\) đến các đỉnh là: \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = 50{\rm{\;(cm)}}\).

Điểm nối \(I\) nằm trên đoạn thẳng đứng \(OM\). Đặt \(OI = x\) với \(0 \le x \le 60{\rm{\;(cm)}}\).

Khi đó độ dài đoạn treo thẳng đứng là: \(IM = OM - OI = 60 - x\).

Độ dài của \(4\) đoạn dây treo nhánh bằng nhau \(IA,IB,IC,ID\) từ \(I\) đến các góc là:

\(IA = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{50}^2} + {x^2}} = \sqrt {2500 + {x^2}} \).

Tổng chiều dài dây thép được sử dụng là: \(f\left( x \right) = 4\sqrt {2500 + {x^2}} + \left( {60 - x} \right){\rm{,}}\,\,\,\,\,{\rm{\;}}x \in \left[ {0;60} \right]\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;60} \right]\):

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{4x}}{{\sqrt {2500 + {x^2}} }} - 1\);

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4x = \sqrt {2500 + {x^2}} \Leftrightarrow 16{x^2} = 2500 + {x^2} \Leftrightarrow 15{x^2} = 2500\)\( \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{2500}}{{15}}} = \frac{{50}}{{\sqrt {15} }}{\rm{\;(cm)}}\).

Tính giá trị cực tiểu của \(f\left( x \right)\): \(f\left( {\frac{{50}}{{\sqrt {15} }}} \right) = 4\sqrt {2500 + \frac{{2500}}{{15}}} + 60 - \frac{{50}}{{\sqrt {15} }} = \frac{{1950}}{{\sqrt {15} }} + 60 \approx 253,65{\rm{\;(cm)}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta thu được tổng chiều dài ngắn nhất là \(254{\rm{\;cm}}\).

Đáp số: \(254\).