Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường hình vuông cạnh bằng 1 m. Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1 ;
24/48
(1,0 điểm)Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường hình vuông cạnh bằng 1 m. Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là \(1;\,\,2;\,...;\,n,\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quá trình tô màu của Việt có thể diễn ra nhiều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt đầu nhỏ hơn \(\frac{1}{{1\,\,000}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}?\)
Diện tích của hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \({u_1} = \frac{1}{4};\,\,q = \frac{1}{4}.\)
Do đó số hạng tổng quát của là \({u_n} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n\, - \,1}} = \frac{1}{{{4^n}}}\,\,\left( {n \ge 1} \right)\).
Để tính diện tích của hình vuông tô màu nhỏ hơn \(\frac{1}{{1\,\,000}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Khi đó \(\frac{1}{{{4^n}}} < \frac{1}{{1\,\,000}}\, \Leftrightarrow {4^n} > 1\,\,000 \Rightarrow n \ge 5.\)
Vậy tô màu từ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.