Để làm máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước 0 , 9 m × 3 m người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới. Biết mặt cắt của máng xối là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ có ch

19/22

Để làm máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước $0,9m \times 3m$người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới. Biết mặt cắt của máng xối là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ có chiều cao bằng chiều dài của tấm tôn. Hỏi $x\left( m \right)$ bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất?

$Để làm máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước \(0,9 (ảnh 1)$

Giải thích

Lời giải

Đáp án: 0,75

$Để làm máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước \(0,9 (ảnh 2)$

Ta có $0 < x < 0,9$. Gọi $h$ là chiều cao của hình thang cân ta có $h = \sqrt {0,{3^2} - {{\left( {\frac{x}{2} - \frac{{0,3}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}}$

Diện tích đáy là

\[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {0,3 + x} \right)\frac{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}{{20}} = \frac{1}{{400}}\left( {3 + 10x} \right)\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} \].

\[\begin{array}{l}S'\left( x \right) = \frac{1}{{400}}\left[ {10\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} + \left( {3 + 10x} \right)\frac{{ - 200x + 60}}{{2\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right]\\ = \frac{1}{{40}}\left[ {\frac{{ - 100{x^2} + 60x + 27 + \left( {3 + 10x} \right)\left( { - 10x + 3} \right)}}{{\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}} \right] = \frac{{ - 200{x^2} + 60x + 36}}{{40\sqrt { - 100{x^2} + 60x + 27} }}\\S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 0,15\\x = 0,75\end{array} \right.\end{array}\]

$Để làm máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước \(0,9 (ảnh 3)$

Do chiều cao của máng là 3 m không đổi suy ra thể tích máng lớn nhất khi diện tích đáy lớn nhất.

Vậy $x = 0,75\left( m \right)$ thì thể tích máng xối lớn nhất.