Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 (m). Người ta dựng một

21/22

Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao $2, 2$ (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng $1, 6$ (m). Người ta dựng một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà và thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu? (đơn vị là mét, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm, không làm tròn kết quả các phép tính trung gian)

Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 (m). Người ta dựng một (ảnh 1)

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: $5, 35$ .

Ta mô hình hoá bài toán bằng hình vẽ dưới đây:

Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 (m). Người ta dựng một (ảnh 2)

Trong đó: $A B$ là độ dài của thang, $D$ là điểm thân thang chạm vào bức tường.

Đặt $A E = x$ (mét) là khoảng cách từ chân thang đến bức tường.

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $A D E$ vuông tại $E$ ta có:

$A D^{2} = A E^{2} + E D^{2} \Rightarrow A D = \sqrt{x^{2} + 2, 2^{2}}$

Vì $D E ∥ B C$ nên theo định lý Thales ta có: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \Rightarrow D B = \frac{A D . E C}{A E} = \frac{1, 6}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + 2, 2^{2}}$

Suy ra chiều dài thang là: $A B = A D + D B = \sqrt{x^{2} + 2, 2^{2}} + \frac{1, 6}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + 2, 2^{2}}$

Xét hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2, 2^{2}} + \frac{1, 6}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + 2, 2^{2}}$

Ta có: $f' (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4, 84}} - \frac{7, 744}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4, 84}}$

Cho $f' (x) = 0 \Rightarrow x = x_{0} = \frac{2 . \sqrt[3]{121}}{5}$

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 (m). Người ta dựng một (ảnh 3)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của $f (x)$ đạt được tại $x = x_{0} = \frac{2 . \sqrt[3]{121}}{5}$

Vậy chiều dài ngắn nhất của cái thang là: $A B = \sqrt{x_{0}^{2} + 2, 2^{2}} + \frac{1, 6}{x_{0}} \sqrt{x_{0}^{2} + 2, 2^{2}} \approx 5, 35$ (mét).