Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và trung tuyến AM. Gọi H là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia HM lấy điểm N sao cho HN = HM. 1) Chứng minh AM = MB và tứ giác ANBM (ảnh 1)

1) Xét \(\Delta ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Xét tứ giác \(ANBM\) có \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(MN\) (do \(HN = HM)\) nên \(ANBM\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(ANBM\) có \(AM = MB\) nên là hình thoi.

2) ⦁ Vì \(ANBM\) là hình thoi nên \(BN = BM\) và \(BA\) là phân giác của \(\widehat {MBN}\) (tính chất hình thoi).

Xét \(\Delta BND\) và \(\Delta BMD\) có:

\(BN = BM;\)

\(\widehat {NBD} = \widehat {MBD}\) (do \(BA\) là phân giác của \(\widehat {MBN});\)

\(BD\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta BND = \Delta BMD\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BND} = \widehat {BMD}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {BMD} = \widehat {BND} = 90^\circ ,\) nên \(DM \bot BC\) tại \(M.\)

⦁ Ta có \(DM \bot BC\) tại \(M\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(DM\) là đường trung trực của \(BC.\)

Do đó \(DB = DC\) nên \(\Delta DBC\) cân tại \(D.\)

3) ⦁ Xét \(\Delta MJE\) có \(IP\,{\rm{//}}\,EJ\) nên \(\frac{{IP}}{{EJ}} = \frac{{MI}}{{ME}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Xét \(\Delta MNE\) có \(HI\,{\rm{//}}\,NE\) nên \(\frac{{HI}}{{NE}} = \frac{{MI}}{{ME}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Do đó \(\frac{{IP}}{{EJ}} = \frac{{HI}}{{NE}}\left( { = \frac{{MI}}{{ME}}} \right)\)

Mặt khác, \(I\) là trung điểm của \(HP\) nên \(IP = IH,\) do đó \(EJ = NE\) hay \(E\) là trung điểm \(NJ.\)

⦁ Vì \(ANBM\) là hình thoi nên \(AB \bot MN\)

Lại có \(AC \bot AB\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AC\).

Xét \(\Delta DHM\) có \(AK\,{\rm{//}}\,HM\) nên \(\frac{{DK}}{{KM}} = \frac{{DA}}{{AH}}\) (định lí Thalès). (1)

Xét \(\Delta MNJ\) có \(E,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(NJ\) và \(MN\) nên \(EH\) là đường trung bình của tam giác, do đó \[EH\,{\rm{//}}\,MJ\].

Xét \(\Delta DEH\) có \(JA\,{\rm{//}}\,EH\) nên \(\frac{{DJ}}{{JE}} = \frac{{DA}}{{AH}}\) (định lí Thalès). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DK}}{{KM}} = \frac{{DJ}}{{JE}}\left( { = \frac{{DA}}{{AH}}} \right).\) Do đó \(JK\,{\rm{//}}\,EM\) (định lí Thalès đảo).

Vậy \(MI\,{\rm{//}}\,JK.\)

Để hình bình hành ABCD trở thành hình thoi, ta cần thêm điều kiện