Để giám sát việc thăm quan trong một căn phòng triển lãm, người ta lắp đặt 02 camera, một ở vị trí chính giữa trần nhà của căn phòng và một ở chính giữa một góc tường của căn phòng. Giả sử p
22/22
Để giám sát việc thăm quan trong một căn phòng triển lãm, người ta lắp đặt 02 camera, một ở vị trí chính giữa trần nhà của căn phòng và một ở chính giữa một góc tường của căn phòng.
Giả sử phòng triển lãm có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước \(4m \times 7m \times 4m\) và ta đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) vào căn phòng như hình vẽ. Biết rằng \(M\) và \(N\) là các vị trí đặt camera, trong đó \(M\) ở chính giữa mặt phẳng trần nhà, \(N \in Oz\) là điểm chính giữa của góc tường \(\left( {ON = 2} \right)\). Gọi \(\left( {a;b;c} \right)\) là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \), tính \(a + 2b + c\).
Đáp số: ____
Dựa vào hệ trục tọa độ được thiết lập trong hình vẽ:
Mặt đáy của phòng nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có kích thước dọc theo trục \(Ox\) là \(4\), dọc theo trục \(Oy\) là \(7\).
Trần nhà là mặt phẳng song song với \(\left( {Oxy} \right)\) và cách một khoảng bằng chiều cao căn phòng là \(4\), tức là mọi điểm trên trần nhà đều có cao độ \(z = 4\).
Điểm \(M\) nằm ở chính giữa trần nhà, do đó hình chiếu của \(M\) xuống đáy chính là tâm của hình chữ nhật đáy. Tọa độ hình chiếu này là \(\left( {\frac{4}{2};\frac{7}{2};0} \right) = \left( {2;\frac{7}{2};0} \right)\). Suy ra tọa độ của điểm \(M\) là: \(M\left( {2;\frac{7}{2};4} \right)\).
Điểm \(N\) nằm trên trục \(Oz\) và là điểm chính giữa góc tường với độ dài \(ON = 2\), suy ra tọa độ điểm \(N\) là:\(N\left( {0;0;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right) = \left( {0 - 2;0 - \frac{7}{2};2 - 4} \right) = \left( { - 2; - \frac{7}{2}; - 2} \right)\).
Do đó \(a = - 2\), \(b = - \frac{7}{2}\), \(c = - 2\).
Giá trị của biểu thức \(a + 2b + c\) là: \(a + 2b + c = - 2 + 2 \cdot \left( { - \frac{7}{2}} \right) + \left( { - 2} \right) = - 2 - 7 - 2 = - 11\).
Đáp số: −11.