Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và nửa trên của elip x^2/1,5^2 + y^2/1^2 = 1
19/22
Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và nửa trên của elip \(\frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1\) (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục \(Ox\); sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính \(0,2\) cm và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay.
Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.
Nửa trên elip có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1\).
Suy ra: \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}\).
Lỗ khoan có bán kính \(0,2\) cm nên phần còn lại có tiết diện dạng vành khăn, diện tích:
\(\pi ({y^2} - {0,2^2}) = \pi \left( {{y^2} - 0,04} \right)\).
Ta cần tìm giới hạn \(x\) khi \(y = 0,2\): \({0,2^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}\).
\(0,04 = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}\).
\(\frac{{{x^2}}}{{2,25}} = 0,96\).
\(x = \pm 1,5\sqrt {0,96} \).
Thể tích hạt cườm là: \(V = \pi \int\limits_{ - 1,5\sqrt {0,96} }^{1,5\sqrt {0,96} } {\left( {0,96 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}} \right)} ,dx\).
Tính được: \(V \approx 5,909989617\) cm³.
Làm tròn đến hàng phần trăm: \(V \approx 5,91\) cm³.
Đáp án: 5,91 cm³.