Để bảo tồn loài chim Sếu đầu đỏ, các nhà khoa học đã thả một số cá thể vào khu sinh thái và theo dõi sự phát triển của chúng. Gọi y(t) (đơn vị: trăm cá thể) là số lượng chim tại thời điểm t n

a) \[y'(t) = k{\mkern 1mu} .\,y(t)\, \Rightarrow \,k = \,\frac{{y'\left( t \right)}}{{y\left( t \right)}} \Rightarrow \,\int {k.dt\, = \,\int {\frac{{y'\left( t \right)}}{{y\left( t \right)}}dt\, \Rightarrow kt + C = \ln \left( {y\left( t \right)} \right)} } \]

\[y(t) = {e^{g(t)}},\,\,t \ge 0\, \Leftrightarrow \,g\left( t \right) = \,\ln \left( {y\left( t \right)} \right)\, \Rightarrow \,g\left( t \right) = kt + C\] với C là một hằng số. Suy ra a) Đúng.

b) \[\left\{ \begin{array}{l}y(5) = 4\\y(10) = 8\end{array} \right.\, \Rightarrow \frac{{y(10)}}{{y(5)}} = \frac{{{e^{10k + C}}}}{{{e^{5k + C}}}} = {e^{5k}} = 2 \Rightarrow 5k = \ln 2 \Rightarrow k = \frac{{\ln 2}}{5}.\] Suy ra b) Đúng.

c) \[g\left( t \right) = kt + C\, \Rightarrow \,g\left( t \right) = \,\frac{{\ln 2}}{5}t\, + C\]\[ \Rightarrow y(t) = {e^{kt + C}}\, = {e^{\frac{{\ln 2}}{5}t + C}}\]

\[y(5) = 4 \Leftrightarrow {e^{\ln 2 + C\,}} = 4 \Leftrightarrow \ln 2 + C = \ln 4\,\, \Leftrightarrow \,C = \ln 2\]. Suy ra c) Sai

d) Tại thời điểm \[t = 20\] (năm) kể từ khi bắt đầu theo dõi, số lượng chim Sếu đầu đỏ là \[y(20) = {e^{\frac{{20}}{5}\ln 2 + \ln 2\,}} = {e^{4\ln 2 + \ln 2}} = {e^{5\ln 2}} = {2^5} = 32\,\](trăm cá thể)

Suy ra \[y(20) = 3200\,\, < \,4000\] (cá thể). Vậy d) Sai.