Dây truyền đỡ trên cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A , B trên mỗi trục AA , BB ′ với độ cao 30 m . Chiều dài đoạn A ′B ′ = 200 m

Hướng dẫn giải

Giả sử Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Chọn hệ trục như hình vẽ khi đó Parabol đi qua điểm \(A\left( {100;30} \right)\) có đỉnh \(C\left( {0;5} \right)\)

+) Điểm đỉnh \(C\left( {0;5} \right)\), có: \({x_C} = - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\)

 Thay \(x = 0\), \(y = 5\) vào hàm số ta được: \(c = 5\).

Khi đó hàm số trở thành: \(y = a{x^2} + 5\)

+) Thay tọa độ điểm \(A\left( {100;30} \right)\) với \(x = 100\) và \(y = 30\) vào hàm số ta được:

\(30 = a{.100^2} + 5\)

\( \Leftrightarrow 30 = a.10\,\,000 + 5\)

\( \Leftrightarrow 10\,\,000a = 25\)

\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{{400}}\) (thỏa mãn điều kiện)

Suy ra Parabol có dạng: \(y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5\).

Mà đoạn \(AB\) được chia làm \(8\) phần bằng nhau nên mỗi phần \(25m\)

Khi đó tổng độ dài cáp treo bằng \(OC + 2{y_1} + 2{y_2} + 2{y_3}\)

Hay \(5 + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right) = 78,75\left( m \right)\).

Vậy tổng độ dài cáp treo là \(78,75\,\,m\).