Lời giải:

a) Đường thẳng ∆: 2x + 3y ‒ 5 = 0 có hệ số góc \[{k_1} = - \frac{2}{3}\].

Đường thẳng ∆’: 3x ‒ 2y ‒ 1 = 0 có hệ số góc \[{k_2} = \frac{3}{2}\].

Ta có: \[{k_1} \cdot {k_2} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = - 1\].

Vậy đường thẳng ∆ và ∆’ vuông góc với nhau.

b) Vì d tạo với Δ và Δ' một tam giác cân, và Δ⊥Δ', nên d phải tạo với Δ hoặc Δ' một góc 45°. Giả sử d tạo với Δ một góc 45°.

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc k và k₁ là:

\[\tan \alpha = \left| {\frac{{k - {k_1}}}{{1 + k{k_1}}}} \right|\]

\[\tan 45^\circ = 1 = \left| {\frac{{k - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}{{1 + k \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{k + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}k}}} \right|\]

Suy ra \[k + \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3}k\] hoặc \[k + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3}k\]

⦁ Trường hợp 1:

\[k + \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3}k\]

\[k + \frac{2}{3}k = 1 - \frac{2}{3}\]

\[\frac{5}{3}k = \frac{1}{3}\]

\[k = \frac{1}{5}\].

⦁ Trường hợp 2:

\[k + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3}k\]

\[k - \frac{2}{3}k = - 1 - \frac{2}{3}\]

\[\frac{1}{3}k = \frac{{ - 5}}{3}\]

k = –5.

Với \[k = \frac{1}{5}\], phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3) là:

\[y - 3 = \frac{1}{5}\left( {x - 2} \right)\] hay x ‒ 5y + 13 = 0.

Với k = –5, phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3) là:

y ‒ 3 = –5(x ‒ 2) hay 5x + y ‒ 13 = 0.

Vậy d là x ‒ 5y + 13 = 0 hoặc 5x + y ‒ 13 = 0.

Dấu “!” trong toán học là gì?