Đặt \(OA = a\)\(\lef

42/42

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),{\rm{ }}B\left( {3;4;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 46 = 0\). Biết rằng khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lần lượt bằng \(6\) và \(3\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) bằng

\(3\).

\( - 3\).

\(6\).

\( - 6\).

Giải thích

Ta có \(AB = 3 < d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 6{\rm{ }} \Rightarrow A,{\rm{ }}B\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \(H,{\rm{ }}K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,{\rm{ }}B\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có \(6 = AB + BK \ge AK \ge AH = 6{\rm{ }} \Rightarrow \) \(K \equiv H\) và \(B\) là trung điểm của \(AH\) \( \Rightarrow H\left( {5;6; - 1} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(H\left( {5;6; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} = \left( {2;2; - 1} \right)\) nên có phương trình là \(2x + 2y - z - 23 = 0 \Leftrightarrow - 4x - 4y + 2z + 46 = 0\).

Vậy \(T = a + b + c = - 4 + \left( { - 4} \right) + 2 = - 6\). Chọn D.