Đặt f(x)=ax^2 +bx+c và g(x)=cx^2+bx+a , giả sử |f(x)|<=1 với mọi x thuộc [-1,1].

127/180

Đặt f(x)=ax2+bx+c và g(x)=cx2+bx+a , giả sử |f(x)|≤1,∀x∈[−1;1] . Tính M=max[−1;1]g(x) .

M=−2

M=2

M=1

M=−1

Giải thích

Chọn x=−1,0,1 và đặt:

A=f(1)=a+b+cB=f(−1)=a−b+cC=f(0)=c⇒a=A+B2−Cb=A−B2c=Cvà |A|≤1,|B|≤1,|C|≤1 .

Nên g(x)=Cx2+A−B2x+A+B2−C=C(x2−1)+12A(x+1)+12B(1−x) .

Suy ra |g(x)|≤|C(x2−1)|+12|A(x+1)|+12|B(1−x)|≤|x2−1|+12|x+1|+12|1−x|=1−x2+12(1+x)+12(1−x)=2−x2≤2,∀x∈[−1;1].

Ta thấy hàm số f(x)=2x2−1⇒g(x)=−x2+2 là một hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy max[−1;1]g(x)=2 .