Đặt . a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp.

a) S1=11.3=13,S2=11.3+13.5=25, S3=11.3+13.5+15.7=37.

b) Từ a) ta có thể dự đoán Sn=n2n+1.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có S1=13=12.1+1.                                                   

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: Sk=k2k+1.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Sk+1=k+12k+1+1.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

Sk+1=11.3+13.5+…+1(2k−1)(2k+1)+12k+1−12k+1+1

=Sk+12k+1−12k+1+1

=k2k+1+12k+1−12k+1+1

=k2k+1+12k+12k+3

=k2k+3+12k+12k+3

=2k2+3k+12k+12k+3

=k+12k+12k+12k+3=k+12k+3=k+12k+1+1.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.