Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm\(AB\), tia \(Ox\) trùng với tia \[OB,\] tia \(Oy\) hướng lên trên

(như hình vẽ).

Người ta xây một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách (ảnh 2)

Khi đó \[A\left( { - 200;0} \right),B\left( {200;0} \right).\] Gọi chiều cao giới hạn của cầu là \[h\left( {h > 0} \right),\] suy ra đỉnh cầu có tọa độ \[\left( {0;h} \right).\]

Gọi phương trình parabol của cầu là \(y = a{x^2} + bx + c\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = h\\{200^2}a + 200b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = h\\a = \frac{{ - h}}{{{{200}^2}}}\end{array} \right.\)

Ta tìm được phương trình parabol của cầu là \(y = - \frac{h}{{{{200}^2}}}{x^2} + h\)

Ta có\(y' = - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\). Nhận thấy hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên cầu xác định độ dốc của mặt cầu. Suy ra hệ số xác định độ dốc của mặt cầu là

\(k = y' = - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\)\[, - 200 \le x \le 200\].

Do đó\(|k| = \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}|x| \le \frac{{2h}}{{{{200}^2}}} \cdot 200 = \frac{h}{{100}}\). Vì độ dốc của cầu không quá 10° nên ta có h100≤tan10°⇔h≤17,6

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.

Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x - {\cos ^2}3x\) là