Đạo hàm của hàm số đã cho là f ′ ( x ) = 2 x e x 2 − 1 − 2 x .

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x\). Có \(f\left( 0 \right) = {e^{ - 1}} - 0 = \frac{1}{e};f\left( 1 \right) = {e^{1 - 1}} - 1 = 0\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {{e^{{x^2} - 1}} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{e^{{x^2} - 1}} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) là \(\left\{ {0; \pm 1} \right\}\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.