Đạo hàm của hàm số đã cho là f ′ ( x ) = 2 sin x + √ 2 .

Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) =  - 2\sin x + \sqrt 2 \).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 2\cos 0 + 0 \cdot \sqrt 2  = 2;\,\,f\left( \pi  \right) = 2\cos \pi  + \pi \sqrt 2  =  - 2 + \pi \sqrt 2 \).

\(f'\left( x \right) =  - 2\sin x + \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

\(0 \le \frac{\pi }{4} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{8} \le k \le \frac{3}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\);

\(0 \le \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{3}{8} \le k \le \frac{1}{8} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\).

Tập nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) trên \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 2,\,\,f\left( \pi  \right) =  - 2 + \pi \sqrt 2 ,\,\,f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2  + \frac{{\pi \sqrt 2 }}{4},\,\,f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \sqrt 2  + \frac{{3\pi \sqrt 2 }}{4}\).

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) = \sqrt 2  + \frac{{\pi \sqrt 2 }}{4},\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) =  - \sqrt 2  + \frac{{3\pi \sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} f\left( x \right) = \pi \sqrt 2 \).

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Đúng,      d) Đúng.