d) Xét biểu thức P = A : B . So sánh P và căn P .

d) Với \(x \ge 0, x \ne 4,\) ta có

\(P = A:B\)\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  - 2}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 2}}{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\].

Với \(x \ge 0,  x \ne 4\) thì \[\sqrt P \] luôn có nghĩa.

Xét hiệu: \[P - 1 = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - 1 = \frac{{\sqrt x  - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\].

Ta thấy: \[ - 2 < 0\]; \[\sqrt x  + 2 > 0\] với \(x \ge 0,  x \ne 4\).

Khi đó \[\frac{{ - 2}}{{\sqrt x  + 2}} < 0\] suy ra \[P - 1 < 0\] nên \[P < 1\] hay \[\sqrt P  < 1\], do đó \[\sqrt P  - 1 < 0\].

Mà \[\sqrt P  \ge 0\] nên \[\sqrt P \left( {\sqrt P  - 1} \right) \le 0\] suy ra \[P - \sqrt P  \le 0\] hay \[P \le \sqrt P \].

Vậy với \(x \ge 0\,, \,x \ne 4\) thì \[P \le \sqrt P \].