d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.

d) Diện tích tam giác HBO:  S=HO.HB2

Xét ΔOHB∽ΔOAM g.g  ⇒HBAM=OBOM

⇒HB.OM=AM.OB (3)

Có: OH.OM=R² (4)

Nhân (3) và (4) vế với vế ta được: 

OH.HB.OM²=R².AM.OB= R2.AM.R2OA

⇒  OH.OB=AMOA.OM2=R4.AMOA.(OA2+AM2)

Áp dụng BĐT Cô si với OA và AM ta có: OA²+AM²≥2. OA2.AM2 =2.OA.AM

Dấu "=" xảy ra khi: OA=AM

⇒ OH.OB≤R4.AMOA.2.OA.AM=R42.OA2

Suy ra diện tích tam giác HBO lớn nhất là R42.OA2 khi OA = OM.