d, Gọi S là giao điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn. Chứng minh EF vuông EK

d, Xét tứ giác AEHK có AEH^+AKH^=900+900=1800⇒Tứ giác AEHK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)

⇒HEK^=HAK^=FAB^(hai góc nội tiếp cùng chắn cung HK)

Lại có: FAB^=FEB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FE của (O))

⇒HEK^=FEB^⇒EB là phân giác của FEK^⇒FEK^=2.FEB^=2.FAB^(3)

Ta có: IH⊥AB(gt)SA⊥AB(gt)⇒IH//SA⇒Tứ giác AHISlà hình thang (tứ giác có 2 cạnh đối song song)

Khi AHIS là tứ giác nội tiếp thì SAH^+SIH^=1800(tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà SAH^+AHI^=1800(hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒SIH^=AHI^⇒Tứ giác AHIS là hình thang cân 

Do đó ISA^=SAH^(tính chất hình thang cân) hay BSA^=SAF^

Mà SAF^=SBA^(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn AF⏜)

⇒BSA^=SBA^⇒ΔSABvuông cân tại A⇒SBA^=450(4)

Từ (3) và (4) ta có: FEK^=2FAB^=2.450=900

Vậy khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn, ta có được EF⊥EK(dfcm)