d) Gọi P, Q lần lượt là tam của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của PQ.

d) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

 Ta có: 

NBK^=BMK^ (cmt)
⇒BN là tiếp tuyến tại B của (P)
 ⇒BN⊥BP
Mà  BN⊥BD (vì DBN^=90o: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)
nên B, P, D thằng hàng.
Ta có:  △PBK cân tại  P (PB=PK)
 ⇒BPK^=180o−2⋅PBK^ (8)
Ta có:  NB=NCsdNB⏜=sdNC⏜OB=OC  là đường trung trực của đoạn BC
⇒DB=DC  (D thuộc đường thẳng ON)
 ⇒△DBC cân tại D
⇒BDC^=180o−2⋅DBC^  (9)
Từ (8) và (9) suy ra BPK^=BDC^
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên PK∥DC⇒PK∥DQ (10)
Chứng minh tương tự ta có: C, Q,  D thẳng hàng và  (11)
Từ (10) và (11) suy ra DPKQ là hình bình hành
Mà  E là trung điểm của đường chéo PQ nên E cũng là trung điểm của đường chéo DK
⇒D, E, K thẳng hàng.