Cửa vòm lấy ánh sáng của một tòa nhà được thiết kế dạng parabol với kích thước như hình vẽ. Người ta định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng

Cửa có hình dạng một parabol \((P)\) với phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\).

Parabol \((P)\) có đỉnh \(I\left( {0;\frac{9}{4}} \right)\) nên \(c = \frac{9}{4}\), suy ra \((P):y = a{x^2} + bx + \frac{9}{4}\).

Vì parabol \((P)\) đi qua các điểm \(A\left( { - \frac{3}{2},0} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b =  - \frac{9}{4}}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b =  - \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)

Do đó \((P):y =  - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Gọi \(S\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\) là diện tích kính cẩn lắp. Ta có \(S\) bằng diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng \(x =  - \frac{3}{2},x = \frac{3}{2}\).

\(S = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{2}\left( {{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích kính cản lắp là \(\frac{9}{2}{m^2}\).