Cổng vào miền Tây (Gateway Arch) ở thành phố St.Louis, nước Mỹ, có hình dạng là một phần của parabol như hình vẽ.
20/20
Cổng vào miền Tây (Gateway Arch) ở thành phố St.Louis, nước Mỹ, có hình dạng là một phần của parabol như hình vẽ. Khoảng cách giữa 2 chân cổng \(AB = 160\;{\rm{m}}\). Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 45 m so với mặt đất (tại điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10 m. Hãy tính khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng.
Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ
Giả sử \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Ta có đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ nên có dạng \(y = a{x^2} + bx\).
Mà \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {10;45} \right),B\left( {160;0} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = 45\\{160^2}a + 160b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{{100}}\\b = \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{3}{{100}}{x^2} + \frac{{24}}{5}x\).
\(\left( P \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( {80;192} \right)\).
Do đó khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổnglà 192 m.