Công ty X đang triển khai dự án mái che tại công viên trung tâm. Kiến trúc sư đề xuất thiết kế mái che có dạng tam giác ABC nội tiếp được trong một đường tròn có bán kính R = 7m. Do yêu cầu v
14/14
(1,0 điểm) Công ty X đang triển khai dự án mái che tại công viên trung tâm. Kiến trúc sư đề xuất thiết kế mái che có dạng tam giác \(ABC\) nội tiếp được trong một đường tròn có bán kính \(R = 7{\rm{m}}\). Do yêu cầu về hướng đón nắng tại đỉnh \(A\) nên \(\widehat {BAC}\) cố định bằng \(75^\circ \). Chủ đầu tư mong muốn diện tích mái che lớn nhất có thể trong điều kiện trên. Biết giá loại bạt chuyên dụng nhập khẩu để làm mái che là \(450\,000{\rm{\;VND/}}{{\rm{m}}^2}\), hãy tính chi phí tối đa để làm mái che (kết quả tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến hàng phần mười).
Đặt \(BC = a,AC = b,AB = c\).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A = 2 \cdot 7 \cdot \sin 75^\circ = 14 \cdot \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} = \frac{{7\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}}{2}{\rm{\;(m)}}\).
Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {\left( {b - c} \right)^2} + 2bc\left( {1 - \cos A} \right)\).
Vì \({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(b,c\) nên \({a^2} \ge 2bc\left( {1 - \cos A} \right) \Rightarrow bc \le \frac{{{a^2}}}{{2\left( {1 - \cos A} \right)}}\).
Công thức diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2}bc\sin A \le \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{{2\left( {1 - \cos A} \right)}} \cdot \sin A = \frac{{{a^2}\sin A}}{{4\left( {1 - \cos A} \right)}}\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(b = c\) (tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).
Thay số với \(a = \frac{{7\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}}{2} \Rightarrow {a^2} = 49\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\) thì \({S_{{\rm{max}}}} = \frac{{49\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cdot \sin 75^\circ }}{{4\left( {1 - \cos 75^\circ } \right)}} \approx 59,531{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Giá tiền \(1{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) bạt là \(450\,000{\rm{\;}}\) đồng, tức là \(0,45\) triệu đồng.
Chi phí tối đa làm mái che là: \({T_{{\rm{max}}}} = {S_{{\rm{max}}}} \times 0,45 \approx 59,531 \times 0,45 \approx 26,8\) (triệu đồng).