Công ty VinaElectro sản xuất một loại thiết bị điện tử tiêu dùng và đánh số seri cho từng sản phẩm bằng một mã 6 chữ số được tạo ngẫu nhiên từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,

22/22

Công ty VinaElectro sản xuất một loại thiết bị điện tử tiêu dùng và đánh số seri cho từng sản phẩm bằng một mã 6 chữ số được tạo ngẫu nhiên từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)và chữ số đầu tiên không được là 0. Trong một chương trình khuyến mãi nhân dịp ra mắt sản phẩm mới, công ty muốn tặng quà cho khách hàng nếu sản phẩm họ mua có mã seri “đặc biệt” - là mã số có tích các chữ số bằng 1400. Biết xác suất để khách hàng được tặng quà (tức có mã “đặc biệt”) là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\). Tính \(b - a\).

Giải thích

Đáp án: 1499

Số phần tử của không gian mẫu bằng \(n\left( \Omega \right) = {9.10^5}\).

Gọi \(A\)là biến cố “Mã số có tích các chữ số bằng 1400”.

Xét \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là mã số thuộc biến cố \(A.\)

Ta có \(1400 = {2^3}{.5^2}{.7^1}\), chỉ có các ước trong tập \(\left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\) là \(1;2;4;5;7;8\) nên trong các số \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\)chỉ có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Có 3 chữ số 2; 2 chữ số 5 và 1 chữ số 7: Chọn 3 vị trí trong các vị trí \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) để cho bằng số 2 có \(C_6^3\) cách; chọn 2 vị trí trong các vị trí \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) để cho bằng số 5 có \(C_3^2\) cách. Vị trí còn lại ta cho bằng 7. Như vậy sẽ có \(C_6^3.C_3^2\) mã số ở trường hợp này.

Trường hợp 2: Có 1 chữ số 2, 1 chữ số 4, 2 chữ số 5, 1 chữ số 7 và 1 chữ số 1: Chọn 2 vị trí trong các vị trí \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\)để cho bằng 5 có \[C_6^2\] cách. 4 vị trí còn lại điền đủ các chữ số 1,2,4,7 nên có đúng 4! cách điền cho 4 vị trí còn lại. Số mã số tương ứng trong trường hợp này là \(4!.C_6^2\) .

Trường hợp 3: Có 1 chữ số 8, 1 chữ số 7, 2 chữ số 5, 2 chữ số 1: Chọn ra 2 vị trí để cho bằng 5 có \(C_6^2\) cách; chọn ra 2 vị trí để cho bằng 1 có \(C_4^2\) cách. Hai vị trí còn lại điền hai số 8,7 nên có 2 cách điền số ở hai vị trí còn lại. Số mã số tương ứng trong trường hợp này là \(C_6^2.C_4^2.2\)

Như vậy số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_6^3.C_3^2 + C_6^2.4! + C_6^2.C_4^2.2 = 600.\)

Vậy nên xác suất để chọn ra một mã số có tích của tất cả các chữ số bằng 1400 là: \(P\left( A \right) = \frac{{600}}{{{{9.10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\)

Ta có được \(b = 1500;a = 1 \Rightarrow b - a = 1499.\)