Công ty sữa Vinamilk thiết kế các sản phẩm dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Sản phẩm chứa dung tích bằng 180 ml

Giải chi tiết

Ta có \(180ml = 180c{m^3}\)
Gọi chiều dài của đáy hộp là \(x\left( {cm} \right),x > 0\),
khi đó chiều rộng của đáy hộp là \(\frac{2}{3}x\left( {{\rm{\;}}cm} \right)\).
Gọi chiều cao của hộp chữ nhật là \(h\left( {cm} \right),h > 0\).
Ta có thể tích của khối hộp chữ nhật là \(V = x \cdot \frac{2}{3}x \cdot h = 180\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

\( \Rightarrow h = \frac{{270}}{{{x^2}}}\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).
Diện tích toàn phần của hộp chữ nhật là
\({S_{TP}} = 2.x.\frac{2}{3}x + 2.x.\frac{{270}}{{{x^2}}} + 2.\frac{2}{3}x.\frac{{270}}{{{x^2}}}\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)\({S_{TP}} = f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{900}}{x},\left( {c{m^2}} \right)\)Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(x\) dương sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{900}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số dương \(\frac{4}{3}{x^2},\frac{{450}}{x},\frac{{450}}{x}\) ta có
\(\frac{4}{3}{x^2} + \frac{{450}}{x} + \frac{{450}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{4}{3}{x^2} \cdot \frac{{450}}{x} \cdot \frac{{450}}{x}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 3\sqrt[3]{{270000}},\forall x > 0\)Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{4}{3}{x^2} = \frac{{450}}{x} = \frac{{450}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt[3]{{2700}}}}{2} \approx 6,96\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)