Công ty Diêm Thống Nhất cần thiết kế một mẫu hộp diêm kỷ niệm có chiều dài cố định là 5 cm và thể tích chứa là 15 cm^3. Gọi chiều rộng hộp là x (cm) và chiều cao là y (cm). Cấu tạo hộp diêm t

Thể tích: \(V = 5xy = 15 \Rightarrow xy = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{x}\)
Khay nắp trong được gấp từ một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước\(\left( {x + 2y} \right).\left( {5 + 2y} \right)\) sau khi cắt bỏ 4 hình vuông cạnh\(y\)ở góc
Diện tích tấm bìa khay là: \({S_1} = \left( {x + 2y} \right).\left( {5 + 2y} \right) = 5x + 2xy + 10y + 4{y^2} = 5x + 10y + 4{y^2} + 6\)
Chi phí khay: \({T_1} = C.{S_1} = C\left( {5x + 10y + 4{y^2} + 6} \right)\)
Vỏ bao ngoài bao gồm 2 mặt lớn và 2 mặt bên, mỗi mặt có chiều dài là 5 cm.
Hai mặt lớn in logo có iện tích \({S_L} = 2.5x = 10x\); chi phí đơn vị là \(1,1C\) nên chi phí tổng cho hai mặt lớn là \[{T_L} = 11Cx\]
Hai mặt bên quét phốt pho có diện tích \({S_B} = 2.5y = 10y\) ; chi phí đơn vị là \(3C\) nên chi phí tổng cho hai mặt bên: \({T_B} = 30Cy\)
Tổng chi phí vật liệu \(T\)là:
\(T = {T_1} + {T_L} + {T_B} = C\left( {5x + 10y + 4{y^2} + 6 + 11x + 30y} \right) = C\left( {16x + 40y + 4{y^2} + 6} \right)\)
Thay \(y = \frac{3}{x}\)vào biểu thức: \(f\left( x \right) = 16x + 40\left( {\frac{3}{x}} \right) + 4{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2} + 6\)
Để tìm giá trị \(x\)làm cho chi phí thấp nhất, ta dùng \[{\left. {\frac{d}{{dX}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = x}}\]Shift solve suy ra
Vậy giá trị của \(x = 3\)thì tổng chi phí vật liệu là thấp nhất.