Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Nếu tam giác \(IAB\) đều thì \(\widehat {AIB} = 60^\circ \).

Mà \(IO\) là tia phân giác của \(\widehat {AIB}\) nên \(\widehat {OIA} = \frac{1}{2}\widehat {AIB} = 30^\circ \).

Suy ra \(IA = \frac{{OA}}{{\tan \widehat {OIA}}} = \frac{R}{{\tan 30^\circ }} = R\sqrt 3 \).

Diện tích tam giác \(IAB\) sẽ là \(\frac{{{{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\), không phải \(\frac{{3{R^2}}}{2}\).

b) Đúng. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(IA = IB\) nên \(I\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)

Vì \(OA = OB\) (bán kính đường tròn) nên \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)

Như vậy \(OI\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(OI \bot AB.\)

c) Đúng. Ta có \(\widehat {AMI} = \widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {AON}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(AN)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 2\widehat {OAN}} \right)\) (vì \(\Delta OAN\) cân tại \(O\))

\( = 90^\circ - \widehat {OAN} = \widehat {IAN}.\)

Từ đó chứng minh được $Δ I A M ∽ Δ I N A$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{IA}}{{IN}} = \frac{{IM}}{{IA}}\) hay \(I{A^2} = IM \cdot IN\).

d) Đúng. Ta có \(\widehat {IAO} = \widehat {IBO} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(A,B,O,I\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(OI\).

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là