Cổng Arch tại thành phố St Louis tại Mỹ có hình dạng là một Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 162 m .

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Giả sử phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Parabol đi qua điểm \(A\left( {0;0} \right);\,B\left( {162;0} \right);\,M\left( {10;\,43} \right)\) nên ta có:

Tại \(A\left( {0;\,\,0} \right)\), thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vao hàm số ta được: \(0 = a{.0^2} + b.0 + c\, \Leftrightarrow c = 0\).

Tại \(B\left( {162;0} \right)\), thay \(x = 162\) và \(y = 0\) vào hàm số ta được: \(0 = a{.162^2} + b.162 + c\,\)

\( \Leftrightarrow 26\,\,244a + 162b + c\, = 0\)

Mà \(c = 0\) nên \(26\,\,244a + 162b = 0\) \(\left( 1 \right)\).

Tại \(M\left( {10;\,43} \right)\), thay \(x = 10\) và \(y = 43\) vào hàm số ta được: \(43 = a{.10^2} + b.10 + c\,\)

\( \Leftrightarrow 100a + 10b + c\, = 43\)

Mà \(c = 0\) nên \(100a + 10b = 43\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}26\,\,244a + 162b = 0\\100a + 10b = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

 Suy ra parabol có dạng: \(y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\).

Tọa độ điểm đỉnh \(S\) là: \({x_S} = - \frac{{\frac{{3483}}{{760}}}}{{2.\left( { - \frac{{43}}{{1520}}} \right)}} = 81\); \({y_S} = - \frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 \approx 185,6\).

Do đó chiều cao cổng chính là trị tuyệt đối tung độ của đỉnh \(S\) là \(185,6\,\,m\).