Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2/3(x^3) - m(x^2) - 2(3(m^2) - 1)x + 2/3 có hai điểm cực trị có hoành độ x1,x2 sao cho x1 x2 + 2 (x1 + x2) = 1

5/35

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \(x{}_1\), \({x_2}\) sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).

\(1\).

\(0\).

\(3\).

\(2\).

Giải thích

Lời giải

Ta có \[y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right) = 2\left( {{x^2} - mx - 3{m^2} + 1} \right)\], đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - mx - 3{m^2} + 1\) có \(\Delta = 13{m^2} - 4\).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \)\(g\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\Delta > 0\)\( \Leftrightarrow \) \[\left[ \begin{array}{l}m > \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\\m < - \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\end{array} \right.\]. (*)

\({x_1}\), \({x_2}\) là các nghiệm của \(g\left( x \right)\) nên theo định lý Viète, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 3{m^2} + 1\end{array} \right.\].

Do đó \[{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\]\( \Leftrightarrow \)\[ - 3{m^2} + 2m + 1 = 1\] \( \Leftrightarrow \)\[ - 3{m^2} + 2m = 0\]\( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).

Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ \(m = \frac{2}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.