Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [ - 1010; 1010] của tham số

92/235

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $[- 1010; 1010]$ của tham số $m$ để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của $y = x + m$ và $y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}$:

$x + m = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\, \Leftrightarrow \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 2x - 3\,\,\left( {x \ne 1} \right)$.

$ \Leftrightarrow {x^2} + mx - x - m = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)$

Ta có $\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 3} \right) = {m^2} - 6m + 9 + 4m - 12 = {m^2} - 2m - 3$.

Để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{1^2} + \left( {m - 3} \right) \cdot 1 - m + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 3\end{array} \right.$.

Theo giả thiết: $ - 1010 \le m \le 1010$ và $\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 3\end{array} \right.$ nên $\left[ \begin{array}{l} - 1010 \le m < - 1\\3 < m \le 1010\end{array} \right.$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ và $ - 1010 \le m < - 1$, suy ra có $1009$ giá trị nguyên $m$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ và $3 < m \le 1010$, suy ra có $1007$ giá trị nguyên $m$.

Tóm lại có tất cả $1009 + 1007 = 2016$ giá trị nguyên của tham số $m$.

Đáp án cần nhập là: 2016.