Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = m/3 x^3 - 2m x^2 + (3m + 6)x + 2020 đồng biến trên R?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Ta có y' = mx² – 4mx + 3m + 6.

TH1: Nếu m = 0 thì y' = 6 > 0, ∀x Î ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ.

TH2: Nếu m ≠ 0, hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi y' ≥ 0, ∀x Î ℝ

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\left( {2m} \right)^2} - m\left( {3m + 6} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{m^2} - 6m \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\0 \le m \le 6\end{array} \right.\).

Mà m Î ℤ nên m Î {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Vậy có tất cả có 7 giá trị của m.