Có tất cả bao nhiêu điểm M(a;b;c) a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua M và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? (nhập đáp án

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Giải bất phương trình để tìm cặp nghiệm.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\), và điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\)

Ta có, tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) và vuông góc với nhau

\( \Leftrightarrow R \le MI \le R\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 4 \le {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} + {1^2} \le 8 \Leftrightarrow 3 \le {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} \le 7\)

Suy ra \({(b - 1)^2} \le 7 \Leftrightarrow  - \sqrt 7  \le b - 1 \le \sqrt 7  \Rightarrow b \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\)

Suy ra có 8 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn. Vậy có 8 điểm \(M\) thỏa mãn đề bài