Có tất cả bao nhiêu đa thức P(x) có bậc không lớn hơn 2 với các hệ số

- Xét đa thức \(P(x) = C\) là hằng số thì chỉ có đa thức \({\rm{P}}({\rm{x}}) = 100\) thỏa mãn.

- Xét đa thức \(P(x) = ax + b\) với \(a > 0;b \ge 0;a,b \in \mathbb{Z}\).

Ta có \({\rm{P}}(3) = 100\) hay \(3a + b = 100\), mà \(a \in {\mathbb{N}^*};b \in \mathbb{N}\) nên \(1 \le a \le 33\). Với mỗi \(a\) như vậy ta tìm được duy nhất \(b = 100 - 3a\) thỏa mãn điều kiện nên trường hợp này có tất cả 33 đa thức thỏa đề bài.

 Xét đa thức \(P(x) = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\)với \({\rm{ }}a \in {\mathbb{N}^*};b,c \in \mathbb{N}\). Theo đề bài ta có \(9a + 3b + c = 100\), mà \(a,b,c\)là các số nguyên nên \(c = 3k + 1\) với \(k \in \mathbb{N}\) (với mỗi giá trị của \(k\) thì ta tìm được duy nhất một giá trị của \(c\) ).

Khi đó \(3a + b + k = 33\) hay \(b + k = 33 - 3a \ge 0\), suy ra \(1 \le a \le 11\).

Với mỗi giá trị \(a\) như vậy, có \((34 - 3a)\) giá trị nguyên của \(b\) nhận từ 0 đến ( \(33 - 3a)\) và có duy nhất một giá trị \(k = 33 - 3a - b\) thoả mãn sau khi đã chọn \(a\) và \(b\). Vậy trường hợp này có \(\sum\limits_{a = 1}^{11} {(34 - 3a)}  = 34 \cdot 11 - 3 \cdot \frac{{12 \cdot 11}}{2} = 176\) cặp \((a;b;k)\) thoả mãn, ứng với 176 cặp \((a;b;c)\) thoả mãn đề bài. Trường hợp này có 176 đa thức thoả mãn.

Từ ba trường hợp trên, có tất cả \(1 + 33 + 176 = 210\) đa thức \(P(x)\) với hệ số nguyên không âm và \(P(3) = 100\).