Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình (x+2y).[log2(x^2 + y^2) - log2(x+2y) - 2y + x]<6x +y(12-5y)?

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x2+y2>0x+2y>0.

Ta có:

       x+2y.log2x2+y2−log2x+2y−2y+x<6x+y12−5y

⇔x+2y.log2x2+y2x+2y+x+2y.x−2y<6x+y12−5y

⇔x+2y.log2x2+y2x+2y+x2−4y2−6x−12y+5y2<0

⇔x+2y.log2x2+y2x+2y+x2+y2−6x+2y<0

⇔log2x2+y2x+2y+x2+y2x+2y−6<0

Đặt t=x2+y2x+2y>0. Khi đó bất phương trình trở thành: log2t+t−6<0 với mọi t>0.

Xét hàm ft=log2t+t−6,  với t>0.

Ta có: f't=1tln2+1>0,  ∀t>0 nên hàm ft đồng biến trên khoảng 0;+∞.

Mặt khác ta có: f4=log24+4−6=0 nên bất phương trình tương đương:

ft<f4⇔t<4⇔x2+y2x+2y<4⇔x2+y2−4x−8y<0⇔x−22+y−42<20

Suy ra: x−22<20⇔2−20<x<2+20.

Mà x nguyên nên x∈−2;−1;0;1;2;3;4;5;6.

Lần lượt thay x vào hệ điều kiện x2+y2>0x+2y>0x−22+y−42<20 để tìm y và kết hợp lại ta thu được 61 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.