Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với y<=20 thỏa mãn: log2023((x+1)/(y+1)) + x^2y^2 + 2xy^2 <=(y+2)y^3 ?

Đáp án đúng là: B

Ta có: log2023x+1y+1+x2y2+2xy2≤y+2y3

⇔12log2023x+12y+12+y2x2+2x+1−y2≤y2y2+2y+1−y2

⇔12log2023y2x+12y2y+12+y2x+12≤y2y+12

⇔12log2023y2x+12+y2x+12≤12log2023y2y+12+y2y+121.

Xét hàm số ft=12log2023t+t.

Ta có f't=12⋅1ln2023.t+1>0,∀t>0.

Nên f(t) đồng biến trên 0;+∞, khi đó:

1⇔y2x+12≤y2y+12⇔x+1≤y+1⇔x≤y x,y>0.

Với  y = n 1≤n≤20 thì ta có được n giá trị nguyên dương x tương ứng.

Nên số cặp nguyên dương (x;y) thỏa mãn là ∑k=120k=210.