Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a,b là các số nguyên dương thỏa mãn log 3 a + b + a + b ^3 = 3 a^2 + b^2 + 3ab a + b - 1 + 1

Đáp án: 2

Với a, b nguyên dương, ta có log3(a+b)+(a+b)3=3a2+b2+3ab(a+b−1)+1

⇔log3a3+b3a2+b2−ab+a3+b3+3ab(a+b)=3a2+b2−ab+3ab(a+b)+1

⇔log3a3+b3+a3+b3=log33a2+b2−ab+3a2+b2−ab  (1)

Xét f(t)=log3t+t trên (0;+∞);f'(t)=1t⋅ln3+1>0,∀t>0⇒f(t) đồng biến trên (0;+∞).

Khi đó, phương trình (1) trở thành: fa3+b3=f3a2+b2−ab⇔a3+b3=3a2+b2−ab

⇔a2+b2−ab(a+b−3)=0⇔a2+b2−ab=0   (1)a+b−3=0   (2)

Ta có a2+b2−ab=a−b22+3b24>0,∀a,b∈ℕ*. Do đó (1) vô nghiệm.

(2) <=> a + b = 3. Mà a,b∈ℕ* nên a=2b=1a=1b=2.