Có một khối gỗ dạng hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau

46/50

Có một khối gỗ dạng hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = 3cm, OB = 6cm, OC = 12cm. Trên mặt (ABC) người ta đánh dấu một điểm M sau đó người ta cắt gọt khối gỗ để thu được một hình hộp chữ nhật có OM là một đường chéo đồng thời hình hộp có 3 mặt nằm trên 3 mặt của tứ diện .Thể tích lớn nhất của khối gỗ hình hộp chữ nhật bằng:

8cm3.

24cm3.

12cm3.

36cm3.

Giải thích

Chọn A.

Gọi khoảng cách từ điểm M đến các mặt bên (OAB), (OBC), (OCA) lần lượt là a, b, c.

Khi đó

${V_{O.ABC}} = {V_{M.OAB}} + {V_{M.OBC}} + {V_{M.OAC}}$

Hay $\frac{1}{6}.3.6.12 = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.3.6 + \frac{1}{3}.b.\frac{1}{2}.6.12 + \frac{1}{3}c.\frac{1}{2}.3.12$ $\Rightarrow 12 = a + 4b + 2c$

Thể tích khối gỗ hình hộp chữ nhật theo đề bài là V = abc

Ta có : $abc = \frac{1}{8}a.4b.2c \le \frac{1}{8}{\left( {\frac{{a + 4b + 2c}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{8}.\frac{{{{12}^3}}}{{27}} = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô-sin).

Vậy V = abc đạt giá trị lớn nhất bằng $8\left( {c{m^3}} \right)$ khi

$a = 4b = 2c \Leftrightarrow a = 4(cm),b = 1(cm),c = 2(cm).$