Có một hình phẳng ( H ) (phần tô đậm trong hình vẽ bên) đươc tạo ra bằng cách vẽ một hình vuông có cạnh bằng 4. Sau đó, ở bốn góc hình vuông đó vẽ bốn đường cong đều có tính chất là
21/22
Có một hình phẳng \(\left( H \right)\)(phần tô đậm trong hình vẽ bên) đươc tạo ra bằng cách vẽ một hình vuông có cạnh bằng 4. Sau đó, ở bốn góc hình vuông đó vẽ bốn đường cong đều có tính chất là: tích khoảng cách từ một điểm bất ì thuộc mỗi đường cong đó đến hai trục đối xứng \({d_1},\,{d_2}\) của hình vuông bằng 2. Khi cho hình phẳng \[\left( H \right)\] quay quanh trục \({d_1}\) ta sẽ thu được một vật thể tròn xoay, thể tích vật thể tròn xoay đó bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?
Đáp án: \(37,7\).
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.
Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\)\(\left( {x,y > 0} \right)\). Vì tích khoảng cách từ điểm \(M\) đến các trục hoành, trục tung bằng 2 nên \(x.y = 2 \Leftrightarrow y = \frac{2}{x}\).
Vì phần hình phẳng \(\left( H \right)\) đối xứng nhau qua trục tung nên ta cần tính thể tích phần hình phẳng giới hạn bởi phần tô đậm \((0 \le x \le 2)\).
Phần hình phẳng bên phải trục tung chia thành 2 phần:
\[\left( {{H_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 0;x = 1\end{array} \right.\] và \(\left( {{H_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{2}{x}\\x = 1;\,x = 2\end{array} \right.\)
Khi đó: \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {4dx} = 4\pi \)
\({V_2} = \pi \int\limits_1^2 {\frac{4}{{{x^2}}}dx = \left. {\pi \left( { - \frac{4}{x}} \right)} \right|} _1^2 = 2\pi \)
Vậy \(V = 2\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 2.6\pi \approx 37,7\).