Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừ

Đáp án đúng là: 240

Giải chi tiết

Đặt \(R = 6\left( {{\rm{\;cm}}} \right),h = 10\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\). Gán hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(x\left( { - 6 \le x \le 6} \right)\) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là \(S\left( x \right)\).
Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) như trong hình vẽ.
Ta có \(S\left( x \right) = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2}B{C^2}{\rm{tan}}\alpha \)
\( = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\frac{h}{R} = \frac{{5{\rm{\;}}\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}\)Vậy thể tích lượng nước trong cốc là .

Đáp án cần điền là: 240