Có một cái túi đựng bốn thẻ, mỗi thẻ được ghi một số trong các số 1 , 2 , 3 , 4 và hai cái hộp A , B . Hộp A chứa 8 quả bóng trắng và 8 quả

6/7

Có một cái túi đựng bốn thẻ, mỗi thẻ được ghi một số trong các số $1, 2, 3, 4$ và hai cái hộp $A, B$ . Hộp $A$ chứa 8 quả bóng trắng và 8 quả bóng đen, hộp $B$ rỗng. Bạn An thực hiện phép thử sau: lấy ngẫu nhiên một thẻ trong túi, kiểm tra số ghi trên thẻ rồi bỏ lại thẻ vào túi. Nếu số ghi trên thẻ là 1, lấy một quả bóng trắng từ hộp x $A$ cho vào hộp $B$ . Nếu số ghi trên thẻ là 2 hoặc 3, lấy một quả bóng trắng và một quả bóng đen từ hộp $A$ cho vào hộp $B$ . Nếu số ghi trên thẻ là 4, lấy hai quả bóng trắng và một quả bóng đen từ hộp $A$ cho vào hộp $B$ . Sau khi thực hiện phép thử trên 4 lần, khi số bóng trong hộp $B$ là 8 thì xác suất để có 2 quả bóng đen trong hộp $B$ bằng $\frac{a}{b}$ ( $a, b$ nguyên và $\frac{a}{b}$ tối giản). Khi đó $a + b$ bằng bao nhiêu?

Giải thích

Đáp án: 38

Bước 1: Phân tích các khả năng của mỗi lần thử.

Gọi $X$ là số ghi trên thẻ lấy ra. Có 3 trường hợp xảy ra sau mỗi lần thử:

Trường hợp 1 ( $T_{1}$ ): Lấy trúng thẻ số 1. Xác suất $P_{1} = \frac{1}{4}$ . Kết quả: Thêm 1 bóng trắng (0 bóng đen). Số bóng tăng thêm là 1.

Trường hợp 2 ( $T_{2}$ ): Lấy trúng thẻ số 2 hoặc 3. Xác suất $P_{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Kết quả: Thêm 1 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 2.

Trường hợp 3 ( $T_{3}$ ): Lấy trúng thẻ số 4. Xác suất $P_{3} = \frac{1}{4}$ . Kết quả: Thêm 2 bóng trắng + 1 bóng đen. Số bóng tăng thêm là 3.

Bước 2: Tìm các kịch bản sau 4 lần thử để hộp $B$ có đúng 8 quả bóng.

Gọi $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ lần lượt là số lần các trường hợp $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ xảy ra sau 4 lần thử ( $n_{1} + n_{2} + n_{3} = 4$ ).

Tổng số bóng trong hộp $B$ là: $1 \cdot n_{1} + 2 \cdot n_{2} + 3 \cdot n_{3} = 8$ .

Ta có hệ phương trình:

${\begin{matrix} n_{1} + n_{2} + n_{3} = 4 \\ n_{1} + 2 n_{2} + 3 n_{3} = 8 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} n_{2} + 2 n_{3} = 4 \\ n_{1} = 4 - n_{2} - n_{3} \end{matrix}$

Các bộ số $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ thỏa mãn là:

Kịch bản 1 (KB1): $n_{3} = 0 \Rightarrow n_{2} = 4, n_{1} = 0$ . (Xảy ra $T_{2}$ cả 4 lần).

Kịch bản 2 (KB2): $n_{3} = 1 \Rightarrow n_{2} = 2, n_{1} = 1$ . (Xảy ra $T_{1}$ 1 lần, $T_{2}$ 2 lần, $T_{3}$ 1 lần).

Kịch bản 3 (KB3): $n_{3} = 2 \Rightarrow n_{2} = 0, n_{1} = 2$ . (Xảy ra $T_{1}$ 2 lần, $T_{3}$ 2 lần).

Bước 3: Tính xác suất cho điều kiện S "Số bóng trong hộp $B$ là 8".

KB1: $P (S \cap K B 1) = C_{4}^{4} \cdot (\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$ .

KB2: $P (S \cap K B 2) = \frac{4!}{1! 2! 1!} \cdot (\frac{1}{4})^{1} \cdot (\frac{1}{2})^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{1} = 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ .

KB3: $P (S \cap K B 3) = C_{4}^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{2} = 6 \cdot \frac{1}{256} = \frac{3}{128}$ .

Tổng xác suất mẫu số: $P (S) = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{128} = \frac{8 + 24 + 3}{128} = \frac{35}{128}$ .

Bước 4: Tính xác suất để có đúng 2 quả bóng đen trong hộp $B$ (trong điều kiện tổng 8 bóng).

Số bóng đen sau 4 lần thử là $n_{b l a c k} = 0 \cdot n_{1} + 1 \cdot n_{2} + 1 \cdot n_{3} = n_{2} + n_{3}$ .

KB1: $n_{2} + n_{3} = 4 + 0 = 4$ (Loại).

KB2: $n_{2} + n_{3} = 2 + 1 = 3$ (Loại).

KB3: $n_{2} + n_{3} = 0 + 2 = 2$ (Thỏa mãn).

Vậy chỉ có Kịch bản 3 cho kết quả 2 bóng đen.

Xác suất cần tìm là: $P = \frac{P (S \cap K B 3)}{P (S)} = \frac{3 / 128}{35 / 128} = \frac{3}{35}$ .

Bước 5: Kết luận.

Ta có $\frac{a}{b} = \frac{3}{35}$ (đã tối giản) $\Rightarrow a = 3, b = 35$ .

Vậy $a + b = 3 + 35 = 38$ .