Cô Lan dự định trồng khóm hoa hồng bên trong một đường tròn nội tiếp trong một mảnh đất hình tam giác ABC trước sân nhà. Biết chiều dài cạnh BC là 8 m và chiều dài tổng hai cạnh AB + AC là 12
19/20
Cô Lan dự định trồng khóm hoa hồng bên trong một đường tròn nội tiếp trong một mảnh đất hình tam giác \(ABC\) trước sân nhà. Biết chiều dài cạnh \(BC\) là \(8{\rm{\;m}}\) và chiều dài tổng hai cạnh \(AB + AC\) là \(12{\rm{\;m}}{\rm{.}}\) Góc giữa hai cạnh \(BA\) và \(BC\) là \(60^\circ \).
a) Chu vi mảnh đất hình tam giác \(ABC\) là bao nhiêu mét?
b) Bán kính đường tròn dùng để trồng hoa hồng nội tiếp bên trong tam giác \(ABC\) là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
a)Chu vi mảnh đất hình tam giác \(ABC\) là: \(P = AB + AC + BC = 12 + 8 = 20{\rm{\;m}}\).
b)Đặt \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a = 8\).
Theo giả thiết: \(b + c = 12 \Rightarrow b = 12 - c\).
Góc \(B = 60^\circ \).
Áp dụng định lý côsin cho tam giác \(ABC\):
\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)
\( \Leftrightarrow {\left( {12 - c} \right)^2} = {8^2} + {c^2} - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos 60^\circ \)
\( \Leftrightarrow 144 - 24c + {c^2} = 64 + {c^2} - 8c\)
\( \Leftrightarrow 16c = 80 \Leftrightarrow c = 5{\rm{\;m}}\).
Suy ra \(AB = 5{\rm{\;m}}\) và \(AC = 12 - 5 = 7{\rm{\;m}}\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{P}{2} = \frac{{20}}{2} = 10{\rm{\;m}}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 {\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là: \(r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \approx 1,7{\rm{\;m}}\).