Có hai phác đồ điều trị A và B cho một loại bệnh. Phác đồ A có xác suất chữa khỏi bệnh là 60% và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là 5%. Phác đồ B có xác suất chữa khỏi bệnh là 70% và x

Xét mệnh đề a)
Gọi \(A\) là biến cố "bệnh nhân chọn phác đồ \(A\)".
Gọi \(B\) là biến cố "bệnh nhân khỏi bệnh".
Gọi \(C\) là biến cố "bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng".
Khi đó: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,6\); \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,7\); \(P\left( {C|A} \right) = 0,05\); \(P\left( {C|\bar A} \right) = 0,1\)
Xác suất bệnh nhân điều trị phác đồ A và khỏi bệnh là:
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,5.0,6 = 0,3\) nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Xác suất bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:
\(P\left( C \right) = P\left( {A \cap C} \right) + P\left( {\bar A \cap C} \right) = P\left( A \right).P\left( {C|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {C|\bar A} \right) = 0,5.0,05 + 0,5.0,1 = 0,075\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Nếu biết bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất để bệnh nhân chọn phác đồ \(B\) là:
\(P\left( {\bar A|C} \right) = \frac{{P\left( {\bar A \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,5.0,1}}{{0,075}} = \frac{2}{3} > 0,65\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Theo giả thiết \(B|A\) và \(\bar C|A\) độc lập, \(B|\bar A\) và \(\bar C|\bar A\) độc lập.
Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là:
\(P\left( {B \cap \bar C} \right) = P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right) \cap A} \right) + P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right) \cap \bar A} \right) = P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right)|A} \right) \cdot P\left( A \right) + P\left( {\left( {B \cap \bar C} \right)|\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar A} \right)\)
\( = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right).P\left( {\bar C|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right).P\left( {\bar C|\bar A} \right)\)\( = 0,5.0,6.\left( {1 - 0,05} \right) + 0,5.0,7.\left( {1 - 0,1} \right)\)\( = 0,6\) nên mệnh đề d) đúng