Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ

Xét phép thử lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai.

Cách 1: Gọi:

- A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

- \(B\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ";

\( \cdot \) \(\bar B\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh".

Ta có: \(P(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};P(\bar B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Do đó \(P(A\mid B) = \frac{7}{{11}}\).

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Do đó \(P(A\mid \bar B) = \frac{6}{{11}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.\)

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng \(\frac{{13}}{{22}}\).

Cách 2: Gọi:

- A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

- C là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ nhất";

\( \cdot \) \(\bar C\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ hai".

Sau khi chuyển một viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 11 viên bi.

Ta có: \(P(C) = \frac{1}{{11}};P(\bar C) = \frac{{10}}{{11}}\).

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ nhất: \(P(A\mid C) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ hai: \(P(A\mid \bar C) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P(A) = P(C) \cdot P(A\mid C) + P(\bar C) \cdot P(A\mid \bar C) = \frac{1}{{11}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{10}}{{11}} \cdot \frac{3}{5} = \frac{{13}}{{22}}.\)

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng \(\frac{{13}}{{22}}\).