Có hai giá trị m1,m2 để đường thẳng \[d:\,\,x + my - 3 = 0\] hợp với đường thẳng

Gọi \[{\vec n_d}\], \[{\vec n_{d'}}\] lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \[d:\,\,x + my - 3 = 0\] và \[d':\,\,x + y = 0\]

Ta có \[\left( {d,\,d'} \right) = 60^\circ  \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_{d'}}} \right)} \right| = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}} = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 1} \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left| {m + 1} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{m^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} =  - 4.\)