Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2x − 3)/( x + 2) đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đó?

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x =  - \frac{d}{c} =  - 2\) làm tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = \frac{a}{c} = 2\) làm tiệm cận ngang.

Do đó \(I\left( { - 2\,;\,\,2} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận. Ta có \(y' = \frac{7}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Gọi tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\) có dạng: \(\Delta :y = y'\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) hay \(\Delta :y = \frac{7}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}}\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(I\left( { - 2\,;\,\,2} \right)\) nên \(2 = \frac{7}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} \cdot \left( { - 2 - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}}\)

\( \Leftrightarrow 2 = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} \cdot \left( {{x_0} + 2} \right) + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}} \Leftrightarrow 2 = \frac{{ - 7}}{{\left( {{x_0} + 2} \right)}} + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}}\)

\( \Leftrightarrow 2 = \frac{{2{x_0} - 10}}{{{x_0} + 2}} \Leftrightarrow 4 =  - 10 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại tiếp tuyến nào thoả mãn bài toán. Chọn B.