Có bao nhiêu số tự nhiên n để đa thức A = 20 x 7 y 2 n − 10 x 4 y 3 n + 7 x 5 y 6 chia hết cho đơn thức B = x n + 1 y 6 .

Lời giải

Đáp án: 1

Ta có: \(A:B = \left( {20{x^7}{y^{2n}} - 10{x^4}{y^{3n}} + 7{x^5}{y^6}} \right):{x^{n + 1}}{y^6}\).

Để \(20{x^7}{y^{2n}}\) chia hết cho \({x^{n + 1}}{y^6}\) thì \(n + 1 \le 7\) và \(2n \ge 6\).

Suy ra \(n \le 6\) và \(n \ge 3\) hay \(3 \le n \le 6\).

Mà \(n\) là số tự nhiên nên \(n \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}\) (1).

Để \( - 10{x^4}{y^{3n}}\) chia hết cho \({x^{n + 1}}{y^6}\) thì \(n + 1 \le 4\) và \(3n \ge 6\).

Suy ra \(n \le 3\) và \(n \ge 2\) hay \(2 \le n \le 3\).

Mà \(n\) là số tự nhiên nên \(n \in \left\{ {2;3} \right\}\) (2).

Để \(7{x^5}{y^6}\) chia hết cho \({x^{n + 1}}{y^6}\) thì \(n + 1 \le 5\) hay \(n \le 4\).

Mà \(n\) là số tự nhiên nên \(n \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(n = 3\).

Vậy có 1 giá trị \(n\) thỏa mãn.