Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?

Hướng dẫn giải

Vì \(5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) nên ta có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số \(5\) đứng đầu và \(2017\) số \(0\) đứng sau : Có \(1\) số.

+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số \(4\), một chữ số \(1\) và \(2016\) số \(0\).

- Khả năng 1: Nếu chữ số \(4\) đứng đầu thì chữ số \(1\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu số \(1\) đứng đầu thì số \(4\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số \(3\), một chữ số \(2\) và \(2016\) số \(0\)

- Khả năng 1: Nếu số \(3\) đứng đầu thì số \(2\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu số \(2\) đứng đầu thì số \(3\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số \(2\), một chữ số \(1\) và \(2015\) số \(0\)

- Khả năng 1: Nếu số \(2\) đứng đầu thì số \(1\) và số \(2\) còn lại đứng ở hai trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(A_{2017}^2\) số.

- Khả năng 2: Nếu số \(1\) đứng đầu thì hai chữ số \(2\) đứng ở hai trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^2\)số.

+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có \(2\) chữ số \(1\), một chữ số \(3\) thì tương tự như trường hợp \(4\) ta có \(A_{2017}^2 + C_{2017}^2\) số.

+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số \(2\), ba chữ số \(1\) và \(2014\) số \(0\).

- Khả năng 1: Nếu số \(2\) đứng đầu thì ba chữ số \(1\) đứng ở ba trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^3\)số.

- Khả năng 2: Nếu số \(1\) đứng đầu và số \(2\) đứng ở vị trí mà không có số \(1\) nào khác đứng trước nó thì hai số \(1\) còn lại đứng ở trong \(2016\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2016}^2\) số.

- Khả năng 3: Nếu số \(1\) đứng đầu và số \(2\) đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số \(1\) thì hai số \(1\) và \(2\) còn lại đứng ở trong \(2016\) vị trí còn lại nên ta có \(A_{2016}^2\) số.

+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số \(1\) và \(2013\) số \(0\) , vì chữ số \(1\) đứng đầu nên bốn chữ số \(1\) còn lại đứng ở bốn trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^4\) số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có \(1 + 4C_{2017}^1 + 2\left( {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right) + \left( {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right) + C_{2017}^4\) số cần tìm.